Question

如圖1，拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0）、C（3，-2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線的解析式，并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；
（2）點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連接PA、PD，當(dāng)△PAD的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，過點(diǎn)E（1，1）作EF⊥x軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得△MNQ（點(diǎn)M、N、Q分別與點(diǎn)A、E、F對），使點(diǎn)M、N在拋物線上，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答，再令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把二次函數(shù)對稱軸公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接BD，與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，利用拋物線解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BD的解析式，然后解答即可；
（3）設(shè)對稱中心的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)中心對稱的性質(zhì)用a、b表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)M、N在拋物線上，代入拋物線解析式得到關(guān)于a、b的方程組，求解得到a、b的值，從而得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0）、C（3，-2）兩點(diǎn)，
∴

a+3a+b=0 9a-3a•3+b=-2

，
解得

a= 1 2 b=-2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
令y=0，則

1

2

x²-

3

2

x-2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
對稱軸為直線x=-

b

2a

=-

- 3 2

2× 1 2

=

3

2

，即x=

3

2

；

（2）如圖，連接BD，
∵A、B關(guān)于直線x=

3

2

對稱，
∴BD與對稱軸的交點(diǎn)即為△PAD的周長最小時(shí)的點(diǎn)P，
令x=0，則y=-2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+m，將B（4，0），D（0，-2）代入得：
則

4k+m=0 m=-2

，
解得

k= 1 2 m=-2

，
所以，直線BD的解析式為y=

1

2

x-2，
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y=

1

2

×

3

2

-2=-

5

4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，-

5

4

）；

（3）設(shè)對稱中心坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A（-1，0）的對稱點(diǎn)M（2a+1，2b），
點(diǎn)E（1，1）的對稱點(diǎn)N（2a-1，2b-1），
∵點(diǎn)M、N都在拋物線上，
∴

1 2 (2a+1)2- 3 2 (2a+1)-2=2b① 1 2 (2a-1)2- 3 2 (2a-1)-2=2b-1②

，
①-②得，4a=4，
解得a=1，
把a(bǔ)=1代入①得，

1

2

×9-

3

2

×3-2=2b，
解得b=-1，
∴方程組的解是

a=1 b=-1

，
∴點(diǎn)M（3，-2），N（1，-3）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式），拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，求對稱軸解析式，利用軸對稱確定最短路線問題，（3）利用對稱中心表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．