Question

如圖所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，D是AB上的一點，且DE⊥BC，垂足為E，直角邊ED交直角邊CA的延長線于點F，則當AD=

 

時，△ADF與△BDE的面積之和最小，最小值為

 

．

Answer 1

分析：設AD=x，則DF=

2

x，∴BD=1-x，DE=

2

2

（1-x），∴設y=S_△ADF+S_△DEB=

1

2

AD•DF•sin45°+

1

2

BD•DE•sin45°，由此可以建立關于x的二次函數，然后利用二次函數的性質即可求出當AD=

1

3

AB時，△ADF與△DEB的面積之和最小，最小值為

1

6

．

解答：解：設AD=x，則DF=

2

x，
∴BD=1-x，DE=

2

2

（1-x）．
∴設y=S_△ADF+S_△DEB
=

1

2

AD•DF•sin45°+

1

2

BD•DE•sin45°
=

1

2

x•

2

x•

2

2

+

1

2

（1-x）•

2

2

（1-x）•

2

2

=

3

4

（x-

1

3

）²+

1

6

當x=

1

3

時，y取最小值

1

6

．
∴當AD=

1

3

AB時，△ADF與△DEB的面積之和最小，最小值為

1

6

．

點評：求幾何圖形面積最值的問題，一般可以轉化為求二次函數的最值問題．