【題目】如圖,在等邊△ABC中,D是BC邊的中點,以AD為邊作等邊△ADE.
(1)求∠CAE的度數(shù);
(2)取AB邊的中點F,連接CF、CE,試說明四邊形AFCE是矩形.
【答案】(1)∠CAE=30°;(2)證明見解析.
【解析】分析:(1)根據(jù)等邊三角形三線合一的特點,易求得∠DAC=30°,則∠CAE=∠DAE-∠DAC.
(2)先證明四邊形AECF是平行四邊形,然后根據(jù)∠CFA=∠FAE=90°,由矩形的定義判定四邊形AFCE是矩形.
詳解:
(1) ∵△ABC是等邊三角形,且D是BC中點,
∴DA平分∠BAC,即∠DAB=∠DAC=30°;
∵△DAE是等邊三角形,
∴∠DAE=60°;
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°;
(2)證明:∵△BAC是等邊三角形,F是AB中點,
∴CF⊥AB;
∴∠BFC=90°,
由(1)知:∠CAE=30°,∠BAC=60°;
∴∠FAE=90°;
∴AE∥CF;
∵△BAC是等邊三角形,且AD、CF分別是BC、AB邊的中線,
∴AD=CF;
又AD=AE,∴CF=AE;
∴四邊形AFCE是平行四邊形;
∵∠AFC=∠FAE=90°,
∴四邊形AFCE是矩形.
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【題目】如圖,AB表示路燈,當身高為1.6米的小名站在離路燈1.6的D處時,他測得自己在路燈下的影長DE與身高CD相等,當小明繼續(xù)沿直線BD往前走到E點時,畫出此時小明的影子,并計算此時小明的影長.
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【題目】現(xiàn)從A,B向甲、乙兩地運送蔬菜,A,B兩個蔬菜市場各有蔬菜14噸,其中甲地需要蔬菜15噸,乙地需要蔬菜13噸,從A到甲地運費50元/噸,到乙地30元/噸;從B地到甲運費60元/噸,到乙地45元/噸.
(1)設A地到甲地運送蔬菜x噸,請完成下表:
運往甲地(單位:噸) | 運往乙地(單位:噸) | |
A | x | |
B |
(2)設總運費為W元,請寫出W與x的函數(shù)關系式
(3)怎樣調(diào)運蔬菜才能使運費最少?
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【題目】填寫推理理由
如圖,已知AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,AD平分∠BAC.將∠E=∠1的過程填寫完整.
解:解:∵AD⊥BC, EF⊥BC( 已知 )
∴∠ADC=∠EFC= 90°( 垂直的意義 )
∴AD//EF
∴∠1= ()
∠E= ()
又∵AD平分∠BAC(已知 )
∴ =
∴∠1=∠E.
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【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,B在x軸上,四邊形OACB為平行四邊形,且∠AOB=60°,反比例函數(shù)(k>0)在第一象限內(nèi)過點A,且與BC交于點F.(1)若OA=10,求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若F為BC的中點,且S△AOF=24,求OA長及點C坐標;
(3)在(2)的條件下,過點F作EF∥OB交OA于點E(如圖2),若點P是直線EF上一個動點,連結(jié),PA,PO,問是否存在點P,使得以P,A,O三點構(gòu)成的三角形是直角三角形?若存在,請指出這樣的P點有幾個,并直接寫出其中二個P點坐標;若不存在,請說明了理由.
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【題目】如圖,△ABC中,D、E在AB上,且D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點;若△CDE的周長為4,則AB的長為___________;若∠ACB=100°,則∠DCE=_________度;
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D、E是BC邊上的點,連接AD,AE,以△ADE的邊AE所在直線為對稱軸作△ADE的軸對稱圖形△AD′E,連接D′C,若BD=CD′;
(1)求證:△ABD≌△ACD′;
(2)若∠BAC=120°,求∠DAE的度數(shù).
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【題目】在直角坐標系中,我們不妨將橫坐標,縱坐標均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”.
(1)求函數(shù)y= x+2的圖象上所有“中國結(jié)”的坐標;
(2)若函數(shù)y= (k≠0,k為常數(shù))的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”,試求出常數(shù)k的值與相應“中國結(jié)”的坐標;
(3)若二次函數(shù)y=(k2﹣3k+2)x2+(2k2﹣4k+1)x+k2﹣k(k為常數(shù))的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”,試問該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中(含邊界),一共包含有多少個“中國結(jié)”?
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