Question

【題目】我們把有兩條邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做友好三角形。如圖，在△ABC和△ABD中，AB=AB,AD=AC，∠ABC=∠ABD，則△ABC和△ABD是友好三角形。

（1）如圖1，已知AD=AC,請(qǐng)寫出圖中的友好三角形；

（2）如圖2,在△ABC和△ABD中,AD=AC,∠BDA=∠BCA,且∠BDA>90°，

求證：△ABC≌△ABD；

(3) 如圖3，△ABC內(nèi)接于圓,∠ABC=30°,∠BAC=45°,BC=4。D是圓上一點(diǎn)，若△ABD和△ABC是友好三角形，且BD<AD,求AD的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）△ABC和△ABD （2）見解析 （3）

【解析】(1)根據(jù)友好三角形的概念判斷即可;(2)連結(jié)CD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠ACD，再由∠ADB=∠ACB,根據(jù)等量代換推出∠BDC=∠BCD，繼而得出BD=CD，利用SSS即可得證;(3)分三種情況討論：① 當(dāng)AB=AB,AD=BC時(shí)；② 當(dāng)AB=AB,DB=AC時(shí)；③ 當(dāng)AB=AB,BD=BC時(shí)去分析求解.

（1）：如圖， △ABC和△ABD

（2）：連結(jié)CD，

∵AD=AC, ∴∠ADC=∠ACD

∵∠ADB=∠ACB,

∴,即

∴BD=CD

∵AB=AB, ∴ △ABC≌△ABD (SSS)

（3）① 如圖，當(dāng)時(shí)，,

△ABD和△ABC是友好三角形. ∴AD =4

② 如圖，當(dāng)時(shí)，,

△ABD和△ABC是友好三角形.

過(guò)C作CE⊥AB于點(diǎn)E

∵，BC=4, ∴

∵, ∴

∴

∵, ∴

∴,即

∴

③ 如圖9，當(dāng)時(shí)，,

△ABD和△ABC是友好三角形.

過(guò)D作DF⊥BA于點(diǎn)F

∵∴,

∴, ∴

∴

綜上所述：AD的長(zhǎng)度為.