【題目】如圖,二次函數的圖像與軸交于點A、B,與軸交于點C.
(1) ; ;
(2)點P為該函數在第一象限內的圖像上的一點,過點P作于點Q,連接PC,
①求線段PQ的最大值;
②若以P、C、Q為頂點的三角形與相似,求點P的坐標.
【答案】(1);
(2)①PQ的最大值是;②P的坐標為或
【解析】試題分析:(1)設交點式y=a(x+1)(x-4),再展開可得到-4a=2,解得a=-,即可得到b的值;
(2)①作PN⊥x軸于N,交BC于M,如圖,先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-x+2,設P(t,-t2+t+2),則M(t,-t+2),用t表示出PM=-t2+2t,再證明△PQM∽△BOC,利用相似比得到PQ=-t2+t,然后利用二次函數的性質解決問題;②討論:當∠PCQ=∠OBC時,△PCQ∽△CBO,PC∥x軸,利用對稱性可確定此時P點坐標;當∠CPQ=∠OBC時,△CPQ∽△CBO,則∠CPQ=∠MPQ,所以△PCM為等腰三角形,則PC=PM,利用兩點間的距離公式得到t2+(-t2+t+2-2)2=(-t2+2t)2,然后解方程求出t得到此時P點坐標.
試題解析:(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x4),
即y=ax23ax4a,
則4a=2,解得a=,
則b=-3a=;
(2)(2)①作PN⊥x軸于N,交BC于M,如圖,
BC=,
當x=0時,y=-x2+x+2=2,則C(0,2),
設直線BC的解析式為y=mx+n,
把C(0,2),B(4,0)得,解得,
∴直線BC的解析式為y=x+2,
設P(t, t2+t+2),則M(t, t+2),
∴PM=t2+t+2(t+2)= t2+2t,
∵∠NBM=∠NPQ,
∴△PQM∽△BOC,
∴,即PQ=,
∴PQ=t2+t= (t2)2+,
∴當t=2時,線段PQ的最大值為;
②當∠PCQ=∠OBC時,△PCQ∽△CBO,
此時PC∥OB,點P和點C關于直線x=對稱,
∴此時P點坐標為(3,2);
當∠CPQ=∠OBC時,△CPQ∽△CBO,
∵∠OBC=∠NPQ,
∴∠CPQ=∠MPQ,
而PQ⊥CM,
∴△PCM為等腰三角形,
∴PC=PM,
∴t2+(t2+t+22)2=(t2+2t)2,
解得t=,
此時P點坐標為(, ),
綜上所述,滿足條件的P點坐標為(3,2)或(, ).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某商家預測一種襯衫能暢銷市場,就用12000元購進了一批這種襯衫,上市后果然供不應求,商家又用了26400元購進了第二批這種襯衫,所購數量是第一批購進量的2倍,但每件進價貴了10元.
(1)該商家購進的第一批襯衫是多少件?
(2)若兩批襯衫都按每件150元的價格銷售,則兩批襯衫全部售完后的利潤是多少元?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是:∠A:∠B:∠C:∠D的值為( )
A. 1:2:3:4 B. 1:4:2:3 C. 1:2:2:1 D. 1:2:1:2
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線過點A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x軸正半軸上的一個動點,M是線段AP的中點,將線段MP繞點P順時針旋轉90°得線段PB,過點B作x軸的垂線,過點A作y軸的垂線,兩直線交于點D.
(1)求b、c的值;
(2)當t為何值時,點D落在拋物線上;
(3)是否存在t,使得以A,B,D為頂點的三角形與△AOP相似?若存在,求此時t的值;若不存在,請說明理由.
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