Question

在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如上右圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，3）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規(guī)律進行下去，第2012個正方形的面積為

10•(

4

3

)4022

．

Answer 1

分析：根據(jù)點A、D的坐標求出OA、OD的長，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A₁BA相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出A₁B，從而求出第二個正方形的邊長A₁C=A₁B₁，同理求出第三個正方形的邊長A₂C₁=A₂B₂，根據(jù)規(guī)律求出第2012個正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：∵點A（1，0），點D（0，3），
∴OA=1，OD=3，
∴AD=

32+12

=

10

，
∵∠ADO+∠DAO=180°-90°=90°，
∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
又∵∠AOD=∠ABA₁=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AD

=

OA

A1B

，
∴A₁B=

10

3

，
∴第二個正方形的邊長：A₁C=A₁B₁=

10

+

10

3

=

4 10

3

，
∴第三個正方形的邊長：A₂C₁=A₂B₂=（

4

3

）²

10

，
∴第四個正方形的邊長：=（

4

3

）³

10

，
…，
第2012個正方形的邊長：=（

4

3

）²⁰¹¹

10

，
∴第2013個正方形的面積為[：（

4

3

）²⁰¹¹

10

]²=10•(

4

3

)4022，

故答案為：10•(

4

3

)4022．

點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，依次求出正方形的邊長是解題的關鍵，題目的計算量不小，難度中等．