Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是直徑，D是BC的中點，連接DO并延長到F使AF=OC．
（1）寫出圖中所有全等的三角形（不用證明）；
（2）探究：當∠1等于多少度時，四邊形OCAF是菱形？請回答并給予證明．

Answer 1

解：（1）△ODB≌△ODC，△AOC≌△AOF．
證明：∵AF=OC=OF=AO，
∴三角形AOF為等邊三角形，
∴∠3=60°，且∠3=∠DOB=60°，
又∵D是BC的中點，∴DF⊥BC，
∴∠1=30°；
∵∠2=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∵△AOF是等邊三角形，AF=OC=OF=AO，
∴△AOC≌△AOF；

（2）當∠1=30°時，四邊形OCAF是菱形．
方法一：
∵∠1=30°AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠2=60°，而OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∴OA=OC=CA，
又∵D，O分別是BC，BA的中點，
∴DO∥CA，∴∠2=∠3=60°而OC=OA=AF．
∴△OAF是等邊三角形，
∴AF=OA=OF，
∴OC=CA=AF=OF，
∴四邊形OCAF是菱形．

方法二：
∵∠1=30°，AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠2=∠OCA=60°，
∴∠4=60°，
∴△OCA是正三角形，OC=CA．
又∵D，O分別是BC，BA的中點，
∴DO∥CA，
∴∠5=∠OCA=60°．
∵∠3=180°-∠4-∠5=60°，
又∵AF=OC=OA，
∴∠3=∠AFO=60°，
∴∠AFO=∠5=60°．
∴OC∥AF．
又∵OC=AF，而OC=CA，
∴四邊形OCAF是菱形．
分析：（1）根據全等三角形的判定，和圓的性質，可判定△ODB≌△ODC；
（2）要四邊形OCAF是菱形，需OC=CA=AF=OF，即△AOC為等腰三角形，∠2=60°，那么∠1=30°．
點評：本題綜合考查全等三角形、等邊三角形，菱形和圓的有關知識．注意對三角形全等，以及菱形的判定．