Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以毎秒1個單位長的速度運動t秒（t＞0），拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點O和點P，已知矩形ABCD的三個頂點為 A （1，0），B （1，-5），D （4，0）．
（1）求c，b （用含t的代數(shù)式表示）：
（2）當(dāng)4＜t＜5時，設(shè)拋物線分別與線段AB，CD交于點M，N．
①在點P的運動過程中，你認為∠AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時，；
（3）在矩形ABCD的內(nèi)部（不含邊界），把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為“好點”．若拋物線將這些“好點”分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點O和點P，將點O與P的坐標(biāo)代入方程即可求得c，b；
（2）①當(dāng)x=1時，y=1-t，求得M的坐標(biāo)，則可求得∠AMP的度數(shù)，
②由S=S_{四邊形AMNP}-S_△PAM=S_△DPN+S_梯形NDAM-S_△PAM，即可求得關(guān)于t的二次函數(shù)，列方程即可求得t的值；
（3）根據(jù)圖形，即可直接求得答案．
解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x²+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x²+bx，得t²+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；

（2）①不變．
∵拋物線的解析式為：y=x²-tx，且M的橫坐標(biāo)為1，
∴當(dāng)x=1時，y=1-t，
∴M（1，1-t），
∴AM=|1-t|=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AM=AP，
∵∠PAM=90°，
∴∠AMP=45°；
②S=S_{四邊形AMNP}-S_△PAM=S_△DPN+S_梯形NDAM-S_△PAM
=（t-4）（4t-16）+[（4t-16）+（t-1）]×3-（t-1）（t-1）
=t²-t+6．
解t²-t+6=，
得：t₁=，t₂=，
∵4＜t＜5，
∴t₁=舍去，
∴t=．

（3）＜t＜．
①左邊4個好點在拋物線上方，右邊4個好點在拋物線下方：無解；
②左邊3個好點在拋物線上方，右邊3個好點在拋物線下方：
則有-4＜y₂＜-3，-2＜y₃＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，＜t＜4且＜t＜，解得＜t＜；
③左邊2個好點在拋物線上方，右邊2個好點在拋物線下方：無解；
④左邊1個好點在拋物線上方，右邊1個好點在拋物線下方：無解；
⑤左邊0個好點在拋物線上方，右邊0個好點在拋物線下方：無解；
綜上所述，t的取值范圍是：＜t＜．
點評：此題考查了二次函數(shù)與點的關(guān)系，以及三角形面積的求解方法等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．