Question

如圖，△ABC中，AB=BC=10，點M、N在BC上，使得MN=AM=4，∠MAC=∠BAN，則△ABC的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先由等腰三角形的性質求得∠BAC=∠C，又由∠MAC=∠BAN與MN=AM，求得：∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°，然后過B作BG⊥AM于G，過C作CH⊥AM于H，由三角函數的性質與余弦定理求得BG，BM，CM與CH的長，則由S_△ABC=•AM•（BG+CH），即可求得△ABC的面積．
解答：解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
又∵∠MAC=∠BAN，
∴2∠MAC+∠NAM=∠C，
又∵MN=AM，
∴∠NAM=∠ANM，
又∵∠AMN=∠MAC+∠C∠AMN=180°-2∠NAM，
即∠MAC+∠C=180°-2∠NAM，∠MAC+2∠MAC+∠NAM=180°-2∠NAM，
∴∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°，
過B作BG⊥AM于G，過C作CH⊥AM于H，
在Rt△ABG中，AB=10，∠BAG=60°，
∴BG=5，
根據余弦定理可求得：BM=2，CM=10-2，
∴，
∴CH=，
∴S_△ABC=•AM•（BG+CH）=×4×[5+]=．
故答案為：．
點評：此題考查了等腰三角形的性質，三角函數的性質，余弦定理以及三角形面積問題等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題時注意數形結合思想的應用．