Question

已知，矩形ABCD，AB=4，BE、CF分別平分∠ABC、∠BCD，交AD于E、F，BE、CF相交于G點(diǎn)，EG=

2

2

，BC的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠A=∠D=∠ABC=∠DCB=90°，AD∥BC，求出AE=AB=4，根據(jù)勾股定理求出EF，求出BE，求出BG，證相似得出比例式，代入求出即可．

解答：
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠ABC=∠DCB=90°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB，
∵BE、CF分別平分∠ABC、∠BCD，
∴∠ABE=∠EBC=45°，∠DCF=∠FCB=45°，
∴∠AEB=∠DFC=45°，
∴∠AEB=∠ABE，∠DFC=∠DCF，∠FGE=90°，
∴AE=AB=4，
∵EG=

2

2

=FG，
∴由勾股定理得：EF=

( 2 2 )2+( 2 2 )2

=1，BE=

AB2+AE2

=

42+42

=4

2

，
∴BG=4

2

-

2

2

=

7 2

2

，
∵AD∥BC，
∴△FGE∽△CGB，
∴

EF

BC

=

EG

BG

，
∴

1

BC

=

2 2

7 2 2

，
∴BC=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出EF、BG的長(zhǎng)和根據(jù)相似得出比例式，題目比較好，難度適中．