Question

在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，如圖1，旋轉(zhuǎn)三角尺，若三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B，
（1）求證：MA=MB；
（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，若將三角尺繞點M繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，其直角邊與Rt△POQ的直角邊的延長線交于點A、B，求證：S_△MAB=S_△AOB+

1

2

S_△POQ．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，可得四邊形OEBF是矩形，根據(jù)三角形的中位線定理可得ME=MF，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角邊角”證明△AME和△BMF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=BF，設OA=x，表示出AE為2-x，即BF的長度，然后表示出OB=2+（2-x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍表示出AB的長度，然后根據(jù)三角形的周長公式列式判斷出△AOB的周長隨AB的變化而變化，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出周長最小時的x的值，然后解答即可．
（3）通過ASA易證得△OMA≌△QMB，得出S_△AOM=S_△QBM，然后根據(jù)割補法易求得S_△MAB=S_△AOB+

1

2

S_△POQ．

解答：（1）證明：如圖，過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，
∵∠O=90°，∠MEO=90°，∠OFM=90°
∴四邊形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中點，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=

1

2

OQ=2，MF=

1

2

OP=2，
∴ME=MF，
∴四邊形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，

∠AME=∠BMF ME=MF ∠AEM=∠BFM=90°

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；

（2）解：有最小值，最小值為4+2

2

．
理由如下：根據(jù)（1）△AME≌△BMF，
∴AE=BF，
設OA=x，則AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM=

AE2+ME2

=

(2-x)2+22

，
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=

2

AM=

2

•

(2-x)2+22

=

2(2-x)2+8

，
△AOB的周長=OA+OB+AB=x+（4-x）+

2(2-x)2+8

=4+

2(2-x)2+8

，
所以，當x=2，即點A為OP的中點時，△AOB的周長有最小值，最小值為4+

8

，
即4+2

2

．

（3）解：連接OM，
∵M是PQ的中點，OP=OQ，∠O=90°，
∴OM=MQ，OM⊥MQ，
∵∠OMA+∠AMQ=90°，
∠BMQ+∠AMQ=90°，
∴∠OMA=∠BMQ，
∵△OMQ為等腰直角三角形，
∴∠MOQ=∠MQO=45°，
∴∠MOA=∠MQB=135°，
在△OMA和△QMB中，

∠OMA=∠BMQ OM=MQ ∠MOA=∠MQB

，
∴△OMA≌△QMB（ASA）．
∴S_△AOM=S_△QBM．
∵S_△AOB=S_△AON+S_△ABN=（S_△AOM-S_△MON）+S_△ABN=（S_△QBM-S_△MON）+S_△ABN．

1

2

S_△POQ=S_△MOQ=S_△MON+S_△MQN．
∴S_△AOB+

1

2

S_△POQ=（S_△QBM-S_△MON）+S_△ABN+S_△MON+S_△MQN=S_△QBM+S_△ABN+S_△MQN=S_△MAB．
∴S_△MAB=S_△AOB+

1

2

S_△POQ．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理的應用，以及二次函數(shù)的最值問題，作出輔助線，把動點問題轉(zhuǎn)化為固定的三角形，構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．