Question

在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC．設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．
（1）如圖1，如果∠BAC=90°，∠BCE=

 

度；
（2）如圖2，你認(rèn)為α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α、β之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型,創(chuàng)新題型

分析：（1）根據(jù)題干中給出的條件可以證明△ABD≌△ACE，即可證明∠B=∠ACE，即可求出∠BCE的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的△ABD≌△ACE，可以證明α+β=180°；
（3）α+β=180°．

解答：解：∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠EAC+∠DAC；
∴∠CAE=∠BAD；
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC=90°；
（2）由（1）中可知β=180°-α，
∴α、β存在的數(shù)量關(guān)系為α+β=180°；
（3）連接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，連接DE、CE，可得下圖：

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE；
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC．
∴α、β存在的數(shù)量關(guān)系為α+β=180°；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練運(yùn)用SAS方法判定全等三角形是解題的關(guān)鍵．