Question

【題目】如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 8，E 是 BC 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) P 在射線 AD 上， 過(guò) P 作 PF⊥AE 于 F．

（1）請(qǐng)判斷△PFA 與△ABE 是否相似，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn) P 在射線 AD 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè) PA＝x，是否存在實(shí)數(shù) x，使以 P，F，E 為頂 點(diǎn)的三角形也與△ABE 相似？若存在，請(qǐng)求出 x 的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）存在，x的值為2或5.

【解析】

（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；

（2）根據(jù)題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進(jìn)而列出關(guān)系式．

(1)證明：∵AD∥BC,

∴∠PAF=∠AEB.

∵∠PFA=∠ABE=90°，

∴△PFA∽△ABE.

(2)

若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB.

如圖，連接PE,DE,

∴PE∥AB.

∴四邊形ABEP為矩形.

∴PA=EB=2，即x=2.

如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)P，作PF⊥AE于點(diǎn)F,連接PE,

若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB.

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF.

∴PE=PA.

∵PF⊥AE，

∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn).

∵AE=，

∴EF=AE=.

∵，

∴PE=5，即x=5.

∴滿足條件的x的值為2或5.