Question

已知：如圖1，直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），線段AB的垂直平分線MN交x軸于點(diǎn)D．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點(diǎn)E為直線MN上的點(diǎn)，且△ACE為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q立刻調(diào)頭并以每秒

3

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P的直線l⊥x軸，交AC或BC于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△AGQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)條件可先求C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)可求得直線AC的解析式；
（2）由題意可設(shè)E為（1，y），表示出AE、CE、AC，分AE=CE、AE=AC、和CE=AC三種情況得到關(guān)于y的方程，解得y即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分P到達(dá)原點(diǎn)之前和過(guò)原點(diǎn)之后兩種情況，分別用t表示出AQ和PG的長(zhǎng)度，可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式，再求其最大值即可．

解答：解：（1）在y=-x+4中，令x=0，y=4，令y=0，x=4，
∴C為（0，4），B為（4，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得

4=b 0=-2k+b

，
解得

k=2 b=4

，
∴直線AC解析式為：y=2x+4；
（2）∵A（-2，0），B（4，0），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），則AE²=[1-（-2）]²+y²=9+y²；CE²=1+（y-4）²，
又AC²=AO²+OC²=2²+4²=20，
當(dāng)△ACE為等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)AE=CE時(shí)，則AE²=CE²，即9+y²=1+（y-4）²，解得y=1，此時(shí)E為（1，1）；
②當(dāng)AE=AC時(shí)，則AE²=AC²，即9+y²=20，解得y=±

11

，此時(shí)E為（1，

11

）或（1，-

11

）；
③當(dāng)CE=AC時(shí)，則CE²=AC²，即1+（y-4）²=20，解得y=4±

19

，此時(shí)E為（1，4+

19

）或（1，4-

19

）；
綜上可知E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（1，

11

）或（1，-

11

）或（1，4+

19

）或（1，4-

19

）；
（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖1，

∵PG∥OC，
∴

PG

OC

=

AP

AO

，即

PG

4

=

t

2

，解得PG=2t，且AQ=AB-BQ=6-t，
∴S=

1

2

（6-t）2t=-t²+6t，
其對(duì)稱軸為t=3，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=2時(shí)有最大值，最大值為8；
當(dāng)2≤t≤3時(shí)，如圖2，

∵∠CBO=45°，
∴PG=PB=6-t，
且AQ=6-[2-

3

2

（t-2）]=1+

3

2

t，
∴S=

1

2

（1+

3

2

t）（6-t）=-

3

4

t²+4t+3，
當(dāng)t=

8

3

時(shí)有最大值，最大值為

25

3

；
綜上可知S=

-t2+6t(0≤t≤2) - 3 4 t2+4t+3(2＜t≤3)

，當(dāng)t=

8

3

時(shí)有最大值

25

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識(shí)的綜合應(yīng)用．求出線段得到點(diǎn)的坐標(biāo)是利用待定系數(shù)法的關(guān)鍵，在（2）中分三種情況分別得到關(guān)于E點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意兩種不同函數(shù)表達(dá)式都要求其最值，再取其最大．本題難度適中，注重了基礎(chǔ)知識(shí)的考查，注意分類討論思想的應(yīng)用．