Question

已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以對角線BD為邊作正三角形BDE，過E作DA的延長線的垂線EF，垂足為F．
（1）求證：EF=AF；
（2）求AF的長．

Answer 1

（1）證明：連接EA，且延長交BD于O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，AB=AD，
∴A在BD垂直平分線上，
∵三角形BDE是等邊三角形，
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，
∴E在BD的垂直平分線上，
∴AE是BD的垂直平分線，
∴∠DEO=∠DEB=30°，
∵∠EDB=60°，∠ADB=45°，
∴∠EDA=60°-45°=15°，
∴∠EAF=15°+30°=45°，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA=90°，
∴∠FEA=45°=∠EAF，
∴EF=AF．

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD=2，
即ED=BD=2，
設(shè)AF=EF=x，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：ED²=EF²+FD²，
∴（2）²=x²+（2+x）²，
x₁=-1-（是負(fù)數(shù)，不符合題意舍去），x₂=-1+，
即AF=-1+．
分析：（1）求出EA是BD垂直平分線，求出∠DEB，求出∠EDA，求出∠EAF=∠FEA=45°，即可得出答案；
（2）由勾股定理求出BD=2，即ED=BD=2，設(shè)AF=EF=x，在Rt△EFD中，由勾股定理得出方程（2）²=x²+（2+x）²，求出即可．
點評：本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力．