Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ，AD=6，BC=8， ，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t＞0)．

（1）設(shè)PQ的長(zhǎng)為y，在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫t的取值范圍）．
（2）當(dāng)BP=1時(shí)，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積．
（3）隨著時(shí)間t的變化，線段AD會(huì)有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長(zhǎng)度在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值，請(qǐng)回答：該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=2t
（2）解：當(dāng)BP=1時(shí)，有兩種情形：
①如圖6，若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，有MB= =4，MP=MQ=3，

∴PQ=6．連接EM，
∵△EPQ是等邊三角形，∴EM⊥PQ．∴ ．
∵AB= ，∴點(diǎn)E在AD上．
∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ，其面積為 ．
②若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，由題意得 ．
PQ=BM+MQ BP=8，PC=7．設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F，QE與AD或AD的
延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，則
HP= ，AH=1．在Rt△HPF中，∠HPF=30°，
∴HF=3，PF=6．∴FG=FE=2．又∵FD=2，
∴點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，如圖7．

此時(shí)△EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為
（3）解：能．4≤t≤5
【解析】（1）用t的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng)，即兩點(diǎn)的路程之和；（2）BP=1可分為兩種情況：P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)，重疊部分的面積是三角形或梯形；（3）4秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)分別到達(dá)B、C，此時(shí)重疊部分覆蓋AD 的長(zhǎng)度最大，隨著P點(diǎn)的返回，PQ長(zhǎng)度保持不變，這時(shí)EQ與AD的交點(diǎn)G到D的距離為1，因此再過(guò)1秒，G與D重合，再向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ長(zhǎng)度變短，因此t的范圍為4≤t≤5.