Question

問題背景：
如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
拓展應(yīng)用：
如圖2，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西40°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東80°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以50海里/小時的速度，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以70海里/小時的速度各自前進(jìn)2小時后，在指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，兩艦艇與指揮中心之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

考點：全等三角形的應(yīng)用,方向角

專題：

分析：（1）延長FD到點G．使DG=BE，連結(jié)AG，利用“邊角邊”證明△ABE≌△ADG，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAE=∠DAG，然后求出∠EAF=∠GAF，再利用“邊角邊”證明△AEF≌△AGF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=GF，再根據(jù)GF=DG+DF等量代換即可得證；
（2）連接EF，求出∠EAF=

1

2

∠AOB，延長FB到G，使BG=AE，連接OG，然后與（1）同理可證．

解答：（1）證明：如圖1，延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，
在△ABE和△ADG中，

AD=AE ∠B=∠ADG=90° DG=BE

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF=60°，
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF=60° AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF，
∴EF=BE+DF；

（2）解：如圖2，連接EF，
∵∠AOB=40°+90°+（90°-80°）=140°，
∴∠EOF=70°，
∴∠EOF=

1

2

∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAE+∠OBF=（90°-40°）+（80°+50°）=180°，
∴延長FB到G，使BG=AE，連接OG，
在△AOE和△BOG中，

OA=OB ∠OAE=∠OBG=50° BG=AE

，
∴△AOE≌△BOG（SAS），
∴∠AOE=∠BOG，OE=OG，
∴∠EOF=∠GOF=70°，
在△OEF和△OGF中，

OE=OG ∠EOF=∠GOF=70° OF=OF

，
∴△OEF≌△OGF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=BG+BF，
∴EF=AE+BF，
即EF=2×（50+70）=240海里．
答：此時兩艦艇之間的距離是240海里．

點評：本題考查了全等三角形的應(yīng)用，方向角，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形，然后二次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．