Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，-2），點B的坐標(biāo)為（3，-1），二次函數(shù)的圖象為.

（1）平移拋物線，使平移后的拋物線過點A，但不過點B，寫出平移后的拋物線的一個解析式（任寫一個即可）.

（2）平移拋物線，使平移后的拋物線過A、B兩點，記拋物線為，如圖（2），求拋物線的函數(shù)解析式及頂點C的坐標(biāo).

（3）設(shè)P為y軸上一點，且，求點P的坐標(biāo).

（4）請在圖（2）上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線上是否存在點Q，使為等腰三角形. 若存在，請判斷點Q共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）等 （滿足條件即可）                  ……1分

（2）設(shè)的解析式為，聯(lián)立方程組，

解得：，則的解析式為，                 ……3分

點C的坐標(biāo)為（）                                             ……4分

（3）如答圖23-1，過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則，，，，，.

得：.                          ……5分

延長BA交y軸于點G，直線AB的解析式為，則點G的坐標(biāo)為（0，），設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，）

①當(dāng)點P位于點G的下方時，，連結(jié)AP、BP，則，又，得，點P的坐標(biāo)為（0，）.              …… 6分

②當(dāng)點P位于點G的上方時，，同理，點P的坐標(biāo)為（0，）.

綜上所述所求點P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）                   …… 7分

 (4) 作圖痕跡如答圖23-2所示.

由圖可知，滿足條件的點有、、、，共4個可能的位置.       …… 12分