【題目】已知:如圖,以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心,OA長為半徑作⊙O,⊙O經(jīng)過B、D兩點,過點B作BK⊥AC,垂足為K.過D作DH∥KB,DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H.
(1)求證:AE=CK;
(2)如果AB=a,AD= (a為大于零的常數(shù)),求BK的長:
(3)若F是EG的中點,且DE=6,求⊙O的半徑和GH的長.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠DAE=∠BCK,
∵BK⊥AC,DH∥KB,
∴∠BKC=∠AED=90°,
∴△BKC≌△ADE,
∴AE=CK
(2)解:∵AB=a,AD= =BC,
∴AC= = =
∵BK⊥AC,∠ABC=90°,
∴在Rt△ABC中,由三角形的面積公式得: AB×BC= AC×BK,
∴a× a= a×BK,
∴BK= a
(3)解:DG是圓的弦,又有AE⊥GD得GE=ED,
∵DE=6,
∴GE=6,
又∵F為EG中點,
∴EF= EG=3,
∵△BKC≌△DEA,
∴BK=DE=6,
∴EF= BK,且EF∥BK,
∴△AEF∽△AKB,且相似比為1:2,
∴EF為△ABK的中位線,
∴AF=BF,
又∵∠ADF=∠H,∠DAF=∠HBF=90°,
∴△AFD≌△BFH(AAS),
∴HF=DF=3+6=9,
∴GH=6,
∵DH∥KB,BK⊥AC,四邊形ABCD為矩形,
∴∠AEF=∠DEA=90°,
∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°,
∴∠AFE=∠DAE,
∴△AEF∽△DEA,
∴AE:ED=EF:AE,
∴AE2=EFED=3×6=18,
∴AE=3 ,
∵△AED∽△HEC,
∴ = = ,
∴AE= AC,
∴AC=9 ,
則AO= ,
故⊙O的半徑是 ,GH的長是6.
【解析】(1)根據(jù)ABCD是矩形,求證△BKC≌△ADE即可;(2)根據(jù)勾股定理求得AC的長,根據(jù)三角形的面積公式得出 AB×BC= AC×BK,代入即可求得BK.(3)根據(jù)三角形中位線定理可求出EF,再利用△AFD≌△HBF可求出HF,然后即可求出GH;利用射影定理求出AE,再利△AED∽△HEC求證AE= AC,然后即可求得AC即可.
【考點精析】掌握三角形中位線定理和垂徑定理是解答本題的根本,需要知道連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半;垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條。
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【題目】下列說法正確的是( )
A.頂點相對的兩個角叫對頂角
B.一個角的補角大于這個角本身
C.互為補角的兩個角不可能都是銳角
D.沒有公共點的兩條直線是平行線
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【題目】如圖,點O是△ABC內(nèi)一點,連結OB、OC,并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結,得到四邊形DEFG.
(1)求證:四邊形DEFG是平行四邊形;
(2)若M為EF的中點,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的長度.
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點( ,8),直線y=﹣x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點Q(4,m).
(1)求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達式;
(2)設該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為P,連接0P、OQ,求△OPQ的面積.
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【題目】已知平行四邊形ABCD中,CE平分∠BCD且交AD于點E,A F∥CE,且交BC于點F.
(1)求證:△ABF≌△CDE;
(2)如圖,若∠1=65°,求∠B的大小.
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【題目】如圖,直線CD與EF相交于點O,∠COE=60°,將一直角三角尺AOB的直角頂點與O重合,OA平分∠COE.
(1)求∠BOD的度數(shù);
(2)將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn),同時直線EF也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn),設運動時間為t秒(0≤t≤40).
①當t為何值時,直線EF平分∠AOB;
②若直線EF平分∠BOD,直接寫出t的值.
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【題目】如圖,將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個小三角形,稱為第一次操作;然后,將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形,共得到7個小三角形,稱為第二次操作;再將其中一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形,共得到10個小三角形,稱為第三次操作;…根據(jù)以上操作,若要得到1000個小三角形,則需要操作的次數(shù)是( )
A.332
B.333
C.334
D.335
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