Question

已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，BE平分∠DBC交DC于E點，交DF于M，F(xiàn)是BC延長線上一點，且CE=CF．

（1）求證：BM⊥DF；

（2）若正方形ABCD的邊長為2，求ME?MB．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析    （2）4﹣2

【解析】

試題分析：（1）證明：在△BCE和△DCF中，

∵，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的對應(yīng)邊相等），即∠EBC=∠EDM，

在△BCE和△DME中，

∵，

∴△BCE∽△DME，

∴∠BCE=∠DME=90°（相似三角形的對應(yīng)角相等），即BM⊥DF；

（2）解：∵BC=2，

∴BD=2．

又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF，

∴BD=BF（等腰三角形“三合一”的性質(zhì)），DM=FM，

∴CF=2﹣2．

在△BMF和△DME中，

∠MBF=∠MDE，∠BMF=∠DME=90°，

∴△BMF∽△DME，

∴=，

∴=，即ME?MB=MD²，

∵DC²+FC²=（2DM）²，即2²+（2﹣2）²=4DM²，

∴DM²=4﹣2，即ME?MB=4﹣2．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．

點評：本題綜合考查了全等三角形、正方形、相似三角形的有關(guān)知識．等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當優(yōu)先選擇簡便方法來解決．