Question

如圖所示，點(diǎn)D₁是△ABC的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACF的角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)D₂是∠D₁BC與∠D₁CF的角平分線的交點(diǎn)，以此類推，D_n是∠D_n-1BC與∠D_n-1CF的角平分線的交點(diǎn)．若∠A=x°，則∠D_n=

 

（用含x的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以得出∠ACF=∠A+∠ABC．由角平分線的性質(zhì)就可以得出∠D₁=∠D₁CF-∠CBD₁=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC就可以表示出∠D₁，再由∠D₁CF=∠D₁+∠D₁BF，由角平分線的性質(zhì)就可以而出∠D₂=∠D₂CF-∠D₂BC=

1

2

（=∠D₁+∠D₁BF）-

1

2

+∠D₁BC就可以表示出∠D₂，同樣的方法可以表示出∠D₃…∠D_n．

解答：解：∵BD₁平分∠ABC，CD₁平分∠ACF，
∴∠D₁CF=

1

2

∠ACF，∠CBD₁=

1

2

∠ABC，
∵∠ACF=∠A+∠ABC
∴

1

2

∠ACF=

1

2

（∠A+∠ABC）．
∵∠D₁=∠D₁CF-∠CBD₁，
∴∠D₁=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC，
∴∠D₁=

1

2

∠A．
∵∠A=x°，
∴∠D₁=

1

2

x°．
∵BD₂平分∠D₁BC，CD₂平分∠D₁CF，
∴∠D₂CF=

1

2

∠D₁CF，∠CBD₂=

1

2

∠D₁BC．
∵∠D₁CF=∠D₁BC+∠D₁，
∴

1

2

∠D₁CF=

1

2

（∠D₁BC+∠D₁），
∵∠D₂=∠D₂CF-∠CBD₂，
∴∠D₂=

1

2

（∠D₁BC+∠D₁）-

1

2

∠D₁BC，
∴∠D₂=

1

2

∠D₁．
∵∠D₂=

1

2

x°，
∴∠D₂=

1

4

x°=

1

22

x°；
以此類推：∴∠D₃=

1

8

x°=

1

23

x°．
∴∠Dn=

1

2n

x°．
故答案為：

1

2n

x°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，規(guī)律型試題的探究的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用外角與內(nèi)角的關(guān)系求解是關(guān)鍵．