Question

【題目】如圖①所示，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點落在內的點處.

（1）若，________.

（2）如圖①，若各個角度不確定，試猜想，，之間的數量關系，直接寫出結論.

②當點落在四邊形外部時（如圖②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請說明理由，若不成立，，，之間又存在什么關系？請說明。

（3）應用：如圖③：把一個三角形的三個角向內折疊之后，且三個頂點不重合，那么圖中的和是________.

Answer 1

【答案】(1)50°；(2)①見解析;②見解析;(3)360°.

【解析】

（1）根據題意，已知，，可結合三角形內角和定理和折疊變換的性質求解；

（2）①先根據折疊得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由兩個平角∠AEB和∠ADC得：∠1+∠2等于360°與四個折疊角的差，化簡得結果；
②利用兩次外角定理得出結論；

（3）由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六邊形的內角和減去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的內角和定理即可求解．

解：（1）∵，，
∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，
∴∠A′ED+∠A′DE =180°-∠A′=135°，
∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）=360°-310°=50°；

（2）①,理由如下
由折疊得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∵∠AEB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，
∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；

②，理由如下：

∵是的一個外角

∴.

∵是的一個外角

∴

又∵

∴

（3）如圖

由題意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．