Question

【題目】如圖 1，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，并與直線交于另一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖 2，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；

（3）如圖 3，將拋物線平移，使其頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，得到拋物線；將直線向下平移經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，交拋物線于另一點(diǎn)．點(diǎn)，點(diǎn)是上且位于 第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，軸分別交于，試說明：與存在一個(gè)確定的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），理由詳見解析

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解；

（2）P點(diǎn)分在A點(diǎn)的左邊和右邊的兩種情況（圖見詳解），當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)右邊時(shí)，證出，即可通過相似比求出AP1的長度從而求出P1點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)左邊時(shí)，通過證出，得到AK的長度，從而求出K點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CK的解析式，P2就是直線CK與x軸的交點(diǎn)；

（3）根據(jù)題意求出移動(dòng)后的拋物線及直線OF的解析式，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)，通過聯(lián)立方程用N點(diǎn)的坐標(biāo)表示出Q、R、S的橫坐標(biāo)，通過觀察這三個(gè)橫坐標(biāo)的值即可得出數(shù)量關(guān)系．

解：（1）直線經(jīng)過B點(diǎn)，且B點(diǎn)在x軸上，

．

將代入，得：

拋物線的解析式．

（2）如下圖所示，設(shè)

由

得，

．

I.當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，記此時(shí)的點(diǎn)為，

時(shí)，．

II.當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，時(shí)，

記此時(shí)的點(diǎn)為，則有

過點(diǎn)作軸的垂線,交于點(diǎn)，

則，又公共邊,

，

設(shè)直線，，

直線，

的坐標(biāo)：．

（3），理由如下：

依題意，拋物線的解析式：

的解析式：

設(shè)

直線的解析式：

直線的解析式：

聯(lián)立與

解得

解得

即點(diǎn)S是點(diǎn)Q、點(diǎn)R的中點(diǎn)，

即．