Question

在直角坐標系xoy中，已知點P是反比例函數(shù)圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點為A．

(1)如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設(shè)切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．

(2)如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設(shè)交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時：

①求出點A，B，C的坐標．

②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵⊙P分別與兩坐標軸相切， 　　∴PA⊥OA，PK⊥OK． 　　∴∠PAO＝∠OKP＝90°． 　　又∵∠AOK＝90°， 　　∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°． 　　∴四邊形OKPA是矩形． 　　又∵OA＝OK， 　　∴四邊形OKPA是正方形．　2分 　　(2)①連接PB，設(shè)點P的橫坐標為x，則其縱坐標為． 　　過點P作PG⊥BC于G． 　　∵四邊形ABCP為菱形， 　　∴BC＝PA＝PB＝PC． 　　∴△PBC為等邊三角形． 　　在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，PB＝PA＝x， 　　PG＝． 　　sin∠PBG＝，即． 　　解之得：x＝±2(負值舍去)． 　　∴PG＝，PA＝BC＝2．　4分 　　易知四邊形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1， 　　∴OB＝OG－BG＝1，OC＝OG＋GC＝3． 　　∴A(0，)，B(1，0)，C(3，0)．　6分 　　設(shè)二次函數(shù)解析式為：y＝ax2＋bx＋c． 　　據(jù)題意得： 　　解之得：a＝，b＝，c＝． 　　∴二次函數(shù)關(guān)系式為：．　9分 　　②解法一：設(shè)直線BP的解析式為：y＝ux＋v，據(jù)題意得： 　　 　　解之得：u＝，v＝． 　　∴直線BP的解析式為：． 　　過點A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：． 　　解方程組： 　　得：；． 　　過點C作直線CM∥PB，則可設(shè)直線CM的解析式為：． 　　∴0＝． 　　∴． 　　∴直線CM的解析式為：． 　　解方程組： 　　得：；． 　　綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個， 　　分別為：(0，)，(3，0)，(4，)，(7，)．　12分 　　解法二：∵， 　　∴A(0，)，C(3，0)顯然滿足條件． 　　延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM＝PA． 　　又∵AM∥BC， 　　∴． 　　∴點M的縱坐標為． 　　又點M的橫坐標為AM＝PA＋PM＝2＋2＝4． 　　∴點M(4，)符合要求． 　　點(7，)的求法同解法一． 　　綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個， 　　分別為：(0，)，(3，0)，(4，)，(7，)．　12分 　　解法三：延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM＝PA． 　　又∵AM∥BC， 　∴． 　　∴點M的縱坐標為． 　　即． 　　解得：(舍)，． 　　∴點M的坐標為(4，)． 　　點(7，)的求法同解法一． 　　綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個， 　　分別為：(0，)，(3，0)，(4，)，(7，)．　12分