Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，D，E是BC邊上的兩點(diǎn)，且∠ABC=

1

2

∠ADC=

1

3

∠AEC，已知BD=11，DE=5，求AC長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：分析角的關(guān)系可知△ADE∽△BAE，得

AD

BA

=

AE

BE

=

DE

AE

．然后設(shè)EC=x，AC=y，根據(jù)勾股定理列方程，由AB²=BC²+AC²得(

44 5

5

)2=（16+x）²+y²，求得x、y即可．

解答：解：∵∠ABC=

1

2

∠ADC=

1

3

∠AEC，∴∠ABC=∠DAE，
又∵∠AEB=∠DEA（公共角），∴△ADE∽△BAE，則

AD

BA

=

AE

BE

=

DE

AE

．
由∠ABD=∠BAD，得AD=BD=11，BE=BD+DE=16．
∴AE²=BE•DE=16×5=80，AE=4

5

，AB=

AD•AE

DE

=

44 5

5

．
設(shè)EC=x，AC=y，由AB²=BC²+AC²得(

44 5

5

)2=（16+x）²+y²，
即

442

5

=16²+32x+x²+y²，但x²+y²=AE²=80，
于是

442

5

=256+32x+80，
x=

8

5

=1.6，y²=80-(

8

5

) 2=77.44，
y=8.8．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是分析角的關(guān)系求證△ADE∽△BAE，得出

AD

BA

=

AE

BE

=

DE

AE

．此題難度較大，屬于難題．