【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的,連接BE、CF相交于點D.

(1)求證:BE=CF;
(2)當(dāng)四邊形ABDF為菱形時,求CD的長.

【答案】
(1)證明:∵△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的,

∴AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°,

∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3,即∠BAE=∠CAF,

在△ABE和△ACF中

,

∴△ABE≌△ACF,

∴BE=CF


(2)解:∵四邊形ABDF為菱形,

∴DF=AF=2,DF∥AB,

∴∠1=∠BAC=45°,

∴△ACF為等腰直角三角形,

∴CF= AF=2 ,

∴CD=CF﹣DF=2 ﹣2.


【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°,然后根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△ACF,于是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得DF=AF=2,DF∥AB,再利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠BAC=45°,則可判斷△ACF為等腰直角三角形,所以CF= AF=2 ,然后計算CF﹣DF即可.
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半;①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了即可以解答此題.

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