【題目】如圖,在△ABC中,AB=5,AC=9,S△ABC=,動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿射線AB方向以每秒5個單位的速度運(yùn)動,動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),以相同的速度在線段AC上由C向A運(yùn)動,當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時,P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動,以PQ為邊作正方形PQEF(P、Q、E、F按逆時針排序),以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH.
(1)求tanA的值;
(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t,正方形PQEF的面積為S,請?zhí)骄縎是否存在最小值?若存在,求出這個最小值,若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時,正方形PQEF的某個頂點(diǎn)(Q點(diǎn)除外)落在正方形QCGH的邊上,請直接寫出t的值.
【答案】(1);(2)S最小值=;(3); ;1; .
【解析】試題分析:(1)如圖1,過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M,利用面積法求得BM的長度,利用勾股定理得到AM的長度,最后由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答;
(2)如圖2,過點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N.利用(1)中的結(jié)論和勾股定理得到PN2+NQ2=PQ2,所以由正方形的面積公式得到S關(guān)于t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和二次函數(shù)圖象的性質(zhì)來求其最值;
(3)需要分類討論:當(dāng)點(diǎn)E在邊HG上、點(diǎn)F在邊HG上、點(diǎn)P邊QH(或點(diǎn)E在QC上)、點(diǎn)F邊C上時相對應(yīng)的t的值.
試題解析:(1)如圖1,過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M,
∵AC=9,S△ABC=,
∴ACBM=,即×9BM=,
解得BM=3.
由勾股定理,得
AM==4,
則tanA=;
(2)存在.如圖2,過點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N.依題意得AP=CQ=5t.
∵tanA=,
∴AN=4t,PN=3t.
∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t.
根據(jù)勾股定理得到: ,
S正方形PQEF= =﹣162t+81(0<t<).
∵﹣在t的取值范圍之內(nèi),
∴S最小值=;
(3)①如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在邊HG上時,t1=;
②如圖4,當(dāng)點(diǎn)F在邊HG上時,t2=;
③如圖5,當(dāng)點(diǎn)P在邊QH(或點(diǎn)E在QC上)時,t3="1"
④如圖6,當(dāng)點(diǎn)F在邊C上時,t4=.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx﹣1(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1),則a+b+1的值是( )
A.﹣3B.﹣1C.2D.3
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A,C分別在坐標(biāo)軸上,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)(4,2),過點(diǎn)D(0,3)和E(6,0)的直線分別于AB,BC交于點(diǎn)M,N.
(1)求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)若反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M,求該反比函數(shù)的解析式,并通過計算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上.
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