【題目】在數(shù)學(xué)探究課上,老師出示了這樣的探究問題,請你一起來探究:已知:C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),分別以AC、BC為邊,在AB同側(cè)作等邊△ACE和△BCD,連結(jié)AD、BE交于點(diǎn)P.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí),線段AD 與BE的數(shù)量關(guān)系: .
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外,且∠ACB<120°,上面的結(jié)論是否還成立?若成立請證明,不成立說明理由.
(3)如圖3,在(2)的條件下,以AB為邊在AB另一側(cè)作等邊三角形△ABF,連結(jié)AD、BE和CF交于點(diǎn)P,求證:PB+PC+PA=BE.
【答案】(1)AD=BE;(2)AD=BE成立,∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化,始終是60°;(3)證明見解析
【解析】
試題分析:(1)直接寫出答案即可.
(2)證明△ECB≌△ACD,得到∠CEB=∠CAD,此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論;借助內(nèi)角和定理即可解決問題.
(3)如圖,作輔助線,證明△CPA≌△CHE,即可解決問題.
試題解析:(1)∵△ACE、△CBD均為等邊三角形,
∴AC=EC,CD=CB,∠ACE=∠BCD,
∴∠ACD=∠ECB;
在△ACD與△ECB中,
,
∴△ACD≌△ECB(SAS),
∴AD=BE,
(2)AD=BE成立,∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化,始終是60°.
證明:∵△ACE和△BCD是等邊三角形
∴EC=AC,BC=DC,
∠ACE=∠BCD=60°,
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB,即∠ECB=∠ACD;
在△ECB和△ACD中,
∴△ECB≌△ACD(SAS),
∴∠CEB=∠CAD;
設(shè)BE與AC交于Q,
又∵∠AQP=∠EQC,∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°,即∠APE=60°.
(3)由(2)同理可得∠CPE=∠EAC=60°;在PE上截取PH=PC,連接HC,
則△PCH為等邊三角形,
∴HC=PC,∠CHP=60°,
∴∠CHE=120°;
又∵∠APE=∠CPE=60°,
∴∠CPA=120°,
∴∠CPA=∠CHE;
在△CPA和△CHE中,
,
∴△CPA≌△CHE(AAS),
∴AP=EH,
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE.
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金額(元) | 20 | 30 | 35 | 50 | 100 |
學(xué)生數(shù)(人) | 5 | 10 | 5 | 15 | 10 |
在這次活動(dòng)中,該班同學(xué)捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.30,35
B.50,35
C.50,50
D.15,50
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