Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥DC；
（2）若AD=2，tan∠DAC=，求⊙O直徑AB的長．

Answer 1

證明：（1）連接OC．
則OC=OA，∴∠1=∠2．
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴AD∥OC．
∴∠D=∠OCE．
又直線DE與⊙O相切于點C，
∴OC⊥DC于C．
∴∠OCE=90°．
∴∠D=90°．
∴AD⊥DC．

解：（2）在Rt△ADC中，
∵=tan∠DAC=，
∴DC=AD=×2=1．
∴由勾股定理得AC=．連接BC
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠D．又∠1=∠3，
∴△ACB∽△ADC．
∴，即．
解得AB=．
∴⊙O直徑AB的長是．
分析：（1）連接OC．先證∠D=∠OCE．利用直線DE與⊙O相切于點C，求證∠D=90°即可得出AD⊥DC．
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=．連接BC．求證△ACB∽△ADC，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，解得AB即可．
點評：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)，勾股定理等知識點的綜合利用，此題的關(guān)鍵是作好2條輔助線：（1）連接OC．（2）連接BC，然后利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例求解的．