【題目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是過點A的一條直線,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
(1)當直線AE處于如圖①的位置時,有BD=DE+CE,請說明理由;
(2)當直線AE處于如圖②的位置時,則BD、DE、CE的關(guān)系如何?請說明理由;
(3)歸納(1)、(2),請用簡潔的語言表達BD、DE、CE之間的關(guān)系.
【答案】(1)見解析 (2)見解析 (3)BD=DE-CE
【解析】
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),以及等腰直角三角形的性質(zhì),利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
(1)由BD垂直于AE,得到三角形ABD為直角三角形,利用直角三角形兩銳角互余得到一對角互余,再由∠BAC=90°,得到一對角互余,利用同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等,AB=AC,利用AAS可得出三角形ABD與三角形ACE全等,由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AD=CE,BD=AE,由AE=AD+DE,等量代換即可得證;
(2)當直線AE處于如圖②的位置時,則BD、DE、CE的關(guān)系為BD=DE-CE,理由為:同(1)得出三角形ABD與三角形ACE全等,由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AD=CE,BD=AE,由AE=DE-AD等量代換即可得證;
(3)由(1)(2)總結(jié)得到當D、E位于直線BC異側(cè)時,BD=DE+CE;當D、E位于直線BC同側(cè)時,BD=DE-CE.
解:(1)證明:∵BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠BDA=∠AEC=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC,
在△ABD和△CAE中
∵
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴AD=CE,BD=AE,
∵AE=AD+DE,
∴BD=DE+CE;
(2)BD、DE、CE的關(guān)系為BD=DE-CE,理由為:
證明:在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴AD=CE,BD=AE,
∵AE=DE-AD,
∴BD=DE-CE;
(3)當D、E位于直線BC異側(cè)時,BD=DE+CE;當D、E位于直線BC同側(cè)時,BD=DE-CE.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為活躍校園氣氛,增強班集體凝聚力,培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作的意識,我校計劃在初一、初二舉行學(xué)生趣味運動會.學(xué)校計劃用不超過4620元購買足球和籃球共28個,分別作為運動會團體一、二等獎的獎品.已知足球單價180元,籃球單價160元.
(1)學(xué)校至多可購買多少個足球?
(2)為了鼓勵更多班級參與運動,學(xué)校決定在計劃經(jīng)費內(nèi),按(1)問的結(jié)果購買足球作為一等獎獎品.購買獎品時正好趕上商場對商品價格進行調(diào)整,足球單價上漲了a%,籃球單價下降了 a%,最終恰好比計劃經(jīng)費的最大值節(jié)余了196元,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由不同生產(chǎn)商提供套校服參加比選,甲、乙、兩三個同學(xué)分別參加比選,比選后結(jié)果是:每套校服至少有一人選中,且每人都選中了其中的套校服.如果將其中只有人選中的校服稱作“不受歡迎校服”,人選中的校服稱作“頗受歡迎校服”,人都選中的校服稱作“最受歡迎校服”,則“不受歡迎校服”比“最受歡迎校服”多________________套.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】.如圖所示,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形,下列結(jié)論:①AE=CD;②BF=BG;③BH平分∠AHD;④∠AHC=60°;⑤△BFG是等邊三角形;⑥FG∥AD,其中正確的有( )
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,則下列結(jié)論.①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB,其中正確的是____________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,過點C的直線MN∥AB,D為AB上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于點E,垂足為F,連結(jié)CD,BE,
(1)當點D是AB的中點時,四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由
(2)在(1)的條件下,當∠A= 時四邊形BECD是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD交于點O.過點C作BD的平行線,過點D作AC的平行線,兩直線相交于點E.
(1)求證:四邊形OCED是矩形;
(2)若CE=1,DE=2,ABCD的面積是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC的邊BC在直線l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的邊FP也在直線l上,邊EF與邊AC重合,且EF=FP(備注:當EF=FP,∠EFP=90°時,∠PEF=∠FPE=45°,反之當∠PEF=∠FPE=45°時,當EF=FP).
(1)在圖1中,請你通過觀察、測量、猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.
(2)將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時,EP交AC于點Q,連接AP,BQ.猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時,EP的延長線交AC的延長線于點Q,連接AP、BQ.你認為(2)中所猜想的BQ與AP的結(jié)論還成立嗎?若成立,給出證明:若不成立,請說明理由.
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