Question

【題目】某地欲搭建一橋，橋的底部?jī)啥碎g的距離AB=L，稱(chēng)跨度，橋面最高點(diǎn)到AB的距離CD=h稱(chēng)拱高，當(dāng)L和h確定時(shí)，有兩種設(shè)計(jì)方案可供選擇：①拋物線(xiàn)型，②圓弧型. 已知這座橋的跨度L=32米，拱高h=8米.

(1)如果設(shè)計(jì)成拋物線(xiàn)型,以AB所在直線(xiàn)為x軸, AB的垂直平分線(xiàn)為y軸建立坐標(biāo)系，求橋拱的函數(shù)解析式;

（2）如果設(shè)計(jì)成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑;

（3）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，在兩種方案中分別求橋墩的高度.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+8（-16≤x≤16）；（2）20；（3）①3.5米；②在離橋的一端4米處，拋物線(xiàn)型橋墩高3.5米; 圓弧型橋墩高4米.

【解析】試題分析：（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+c，把點(diǎn)C（0，8）和點(diǎn)B（16，0），代入即可求出拋物線(xiàn)解析式；
（2）設(shè)弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，延長(zhǎng)CD經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，設(shè)⊙O的半徑為R，利用勾股定理求出即可；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長(zhǎng)，再求出EF的長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+c，
又∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，8）和點(diǎn)B（16，0），
∴0=256a+8，a=-．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+8（-16≤x≤16）；
（2）設(shè)弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，延長(zhǎng)CD經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，

設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2
∴R2=（R-8）2+162，解得R=20；
（3）①在拋物線(xiàn)型中設(shè)點(diǎn)F（x，y）在拋物線(xiàn)上，x=OE=16-4=12，
EF=y=3.5米；
②在圓弧型中設(shè)點(diǎn)F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，則OH=DE′=16-4=12，OF′=R=20，
在Rt△OHF′中，HF′= ，
∵HE′=OD=OC-CD=20-8=12，E′F′=HF′-HE′=16-12=4（米）
∴在離橋的一端4米處，拋物線(xiàn)型橋墩高3.5米；圓弧型橋墩高4米．