Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且對(duì)角線AC⊥BD，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．

（1）如圖①，連接EF，若EF平分∠AFG，求證：AE＝GE；

（2）如圖②，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，若CH為∠ACF的平分線，AD＝3，且tan∠FBG＝，求線段AH長(zhǎng)

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)E作EF的垂線交CF于點(diǎn)I，證△EFI是等腰直角三角形，進(jìn)而可證△AEF≌△GEI，等量代換即可證明結(jié)論；

（2）連接DO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)P，連接AP，先求出圓的半徑，再過(guò)點(diǎn)H作HJ⊥AC于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AC于點(diǎn)K，根據(jù)三角函數(shù)可設(shè)設(shè)AJ＝3t，則HJ＝4t，由勾股定理可知AH＝5t，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理及三角函數(shù)用含有t的代數(shù)式表示出HF＝HJ＝4t，AF＝9t，CF＝CJ＝12t，AC＝15t，CK＝t，再根據(jù)平行線分線段成比例定理及勾股定理求解即可．

（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF的垂線交CF于點(diǎn)I，

∵CF⊥AB，

∴∠AFG＝90°，

∵EF平分∠AFG，

∴∠EFI＝45°，

∵EF⊥EI，

∴∠EIF＝45°，

∴EF＝EI

又∵∠EGF＋∠FAE＝180°，∠EGF＋∠EGI＝180°，

∴∠EGI＝∠FAE，

∵∠AEB＝∠FEI＝90°，

∴∠AEF＝∠GEI，

∴△AEF≌△GEI(AAS)，

∴AE＝GE

（2）如圖②，連接DO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)P，連接AP，

則∠ABD＝∠P，

∵DP為⊙O的直徑，

∴∠PAD＝90°，

∵tan∠FBG＝，

∴tanP＝＝，

又∵AD＝3，

∴AP＝4，PD＝5，

∴OD＝

∴OC=OD＝

如圖③，過(guò)點(diǎn)H作HJ⊥AC于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥AC于點(diǎn)K，

∵HJ⊥AC，BD⊥AC，

∴HJ∥BD，

∴∠ABD＝∠AHJ，則tan∠AHJ＝，

設(shè)AJ＝3t，則HJ＝4t，由勾股定理可知AH＝5t，

∵CH是∠ACF的平分線，且HF⊥CF，HJ⊥AC，

∴HF＝HJ＝4t，

∴AF＝AH＋HF＝9t，

設(shè)CF＝x，則CJ＝x，

∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，

∴∠FBG＝∠ECG，

∴tan∠FCJ＝＝＝，

解得x＝12t，

∴CF＝CJ＝12t，

∴AC＝15t，

∴CK＝t

又∵OK∥HJ，

∴＝，

∴OK＝＝t，

∴在Rt△OCK中，OK2＋KC2＝OC2，即(t)2＋(t)2＝()2，

解得t＝ (負(fù)值舍去)，

∴AH＝5t＝