Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

1

4

（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

 

（2）已知|ab-2|與（b-1）²互為相反數(shù)，試求代數(shù)式：

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2013)(b+2013)

（3）探究并計算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

．

Answer 1

考點：有理數(shù)的混合運算,相反數(shù),非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值,非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方

專題：規(guī)律型

分析：（1）歸納總結(jié)得到拆項規(guī)律，寫出即可；
（2）利用互為相反數(shù)兩數(shù)之和為0求出a與b的值，代入原式后利用拆項法變形，抵消合并即可；
（3）原式變形后，利用拆項法化簡，抵消合并即可．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案為：

1

n

-

1

n+1

；
（2）∵|ab-2|+（b-1）²=0，
∴ab=2，b=1，
解得：a=2，b=1，
則原式=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2014×2015

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

；
（3）原式=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2012

-

1

2014

）=

1

2

×

2012

2014

=

1006

4028

．

點評：此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．