Question

已知，直線l經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC=30゜，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與O不重合），直線CP與⊙O交于點(diǎn)Q，且QP=QO．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，求∠OCP的度數(shù)．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠OCP的度數(shù)．
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠OCP的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠OCP=x，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OCP=∠Q，∠POQ=∠OPQ，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠OPQ，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可；
（2）設(shè)∠Q=x，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OCQ=x，∠QOP=∠QPO，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠OCQ=∠QPO+∠AOC，然后列出方程求出x，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義列式計(jì)算即可得解；
（3）設(shè)∠QPO=x，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠QPO=∠QOP，∠OQC=∠OCP，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠OQC=∠QPO+∠QOP，∠AOC=∠QPO+∠OCP，然后求出x，從而得解．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)∠OCP=x，
∵OC=OQ，QP=QO，
∴∠OCP=∠Q=x，∠POQ=∠OPQ，
由三角形的外角性質(zhì)，∠OPQ=∠COP+∠AOC=x+30°，
在△OPQ中，x+（x+30°）+（x+30°）=180°，
解得x=40°，
即∠OCP=40°；

（2）如圖2，設(shè)∠Q=x，
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=x，
∵QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO=

1

2

（180°-x），
由三角形的外角性質(zhì)，∠OCQ=∠AOC+∠QPO，
∴30°+

1

2

（180°-x）=x，
解得x=80°，
∴∠OCP=180°-∠OCQ=180°-80°=100°；

（3）如圖3，設(shè)∠QPO=x，
∵QP=QO，
∴∠QPO=∠QOP=x，
∵OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP=∠QPO+∠QOP=x+x=2x，
由三角形的外角性質(zhì)，∠AOC=∠QPO+∠OCP=x+2x=30°，
解得x=10°，
∴∠OCP=2×10°=20°．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓的綜合題型，主要利用了等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，讀懂題目信息，作出圖形更形象直觀．