Question

【題目】在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC的延長線于點F，以EC、CF為鄰邊作□ECFG．

（1）如圖1，證明□ECFG為菱形；

（2）如圖2，若∠ABC=120°，連接BG、CG，求證△DGC≌△BGE，并求出∠BDG的度數；

（3）如圖3，若∠ABC=90°，M是EF的中點，請直接寫出∠BDM的度數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BDG=60°；（3）∠BDM=45°

【解析】分析：（1）平行四邊形的性質可得AD∥BC，AB∥CD，再根據平行線的性質證明∠CEF=∠CFE，根據等角對等邊可得CE=CF，再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱形；

（2）延長AB、FG交于H，連接HD，求證平行四邊形AHFD為菱形，得出△ADH，△DHF為全等的等邊三角形，證明△BHD≌△GFD，即可得出答案；

（3）首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根據∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度數．

解：（1）證明：∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

又∵四邊形ECFG是平行四邊形，

∴□ECFG為菱形．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠BCF=∠ABC,∠DAF=∠AEB,

∵∠ABC=120°，

∴∠BAD=60°，∠BCF=120°，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAE=30°，

∴∠BAF=∠BEA=30°，

∴AB=BE，

∴BE=CD，

∵四邊形ECFG為菱形，且∠BCF=120°

∴△ECG，△GCF為全等的等邊三角形，

∴GE=GC，∠GEC=∠GCE=60°，

∴∠BEG=∠DCG=120°，

∴△DGC≌△BGE（SAS），

∴∠BGE=∠DGC，BG=DG

∴∠BGD=∠BGE+∠EGD=∠DGC+∠EGD=60°，

∴△BGD是等邊三角形，

∴∠BDG=60°；

（3）如圖2，∠BDM=45°；

如圖，連接BM，MC，

∵∠ABC=90，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是矩形，

又由(1)可知四邊形ECFG為菱形，

∠ECF=90°，

∴四邊形ECFG為正方形，

∵∠BAF=∠DAF，

∴BE=AB=DC，

∵M為EF中點,

∴∠CEM=∠ECM=45°，

∴∠BEM=∠DCM=135°，

在△BME和△DMC中，

∵，

∴△BME≌△DMC(SAS)，

∴MB=MD，

∠DMC=∠BME.

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形，

∴∠BDM=45°.