Question

已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6cm，tan∠CAD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）證明：連結(jié)OD，根據(jù)角平分線定義得∠1=∠2，而∠1=∠3，則∠2=∠3，則可判斷OD∥MN，由于DE⊥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得DE⊥OD，于是可根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；
（2）由∠1=∠2得tan∠2=tan∠CAD=2，在Rt△ADE中，利用正切的定義可計算出AE=3，再利用勾股定理計算出AD=3

5

，由于AC是直徑，根據(jù)圓周角定理得∠ADC=90°，易證得Rt△ADC∽Rt△AED，再利用相似比計算出AC=15，于是得到⊙O的半徑為

15

2

．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AD平分∠CAM交⊙O于D，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥MN，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵∠1=∠2，
∵tan∠2=tan∠CAD=2，
在Rt△ADE中，tan∠2=

DE

AE

=2，
而DE=6，
∴AE=3，
∴AD=

DE2+AE2

=3

5

，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
而∠1=∠2，
∴Rt△ADC∽Rt△AED，
∴AC：AD=AD：AE，即AC：3

5

=3

5

：3，
∴AC=15，
∴⊙O的半徑為

15

2

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．