Question

如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF．以下結(jié)論：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=

1

2

∠BAC．
其中正確的結(jié)論有

 

（填序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,平行線的判定與性質(zhì),三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等兩直線平行得出結(jié)論正確．
（2）由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出結(jié)論∠ACB=2∠ADB，
（3）在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的關(guān)系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出結(jié)論∠ADC=90°-∠ABD；
（4）如果BD平分∠ADC，則四邊形ABCD是菱形，只有在△ABC是正三角形時(shí)才有BD平分∠ADC故④錯(cuò)誤．
（5））由∠BAC+∠ABC=∠ACF，得出

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACF，再與∠BDC+∠DBC=

1

2

∠ACF相結(jié)合，得出

1

2

∠BAC=∠BDC，即∠BDC=

1

2

∠BAC．

解答：解：（1）∵AD平分△ABC的外角∠EAC
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正確．
（2）由（1）可知AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故②正確．
（3）在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，
故③正確，
（4）如果BD平分∠ADC，則四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴只有在△ABC是正三角形時(shí)才有BD平分∠ADC
故④錯(cuò)誤．
（5）∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC=

1

2

∠ACF，
∴

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=

1

2

∠ABC，
∴

1

2

∠BAC=∠BDC，即∠BDC=

1

2

∠BAC．
故⑤正確．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找各角的關(guān)系．