Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），交軸于點C，以OC、OB為兩邊作矩形OBDC，CD交拋物線于G．（1）求OC和OB的長；

（2）拋物線的對稱軸在邊OB（不包括O、B兩點）上作平行移動，交軸于點E，交CD于點F，交BC于點M，交拋物線于點P．設(shè)OE ＝m，PM ＝h，求h與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出PM的最大值；

（3）連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線，

∴當(dāng)=0時，=4；∴點C的坐標(biāo)為（0，4）．  ∴OC=4   

∴當(dāng)=0時，，解得．

∴點B的坐標(biāo)為（3，0）      ∴OB=3．         

（2）∵拋物線的對稱軸⊥軸，在邊PE∥，∴PE⊥軸．

∵OE =m，∴點P的橫坐標(biāo)為m．               

∵點P在拋物線上，

∴點P的縱坐標(biāo)為．                   

∴PE=．                               

在Rt△BOC中，tan∠OBC=．                     

在Rt△BME中，

ME=BE tan∠OBC=（OB－OE）·tan∠OBC=（3－m）=4－m．

∴PM = PE－ME =－4+m=．

∴ h與m的函數(shù)關(guān)系式為h=（0<m<3）   

又h=，

∵－<0，∴當(dāng)m=時，h有最大值為3，∴PM的最大值為3．

（3）①當(dāng)m=時，△PFC∽△BEM，此時△PCM為直角三角形

（∠PCM為直角）；                 

②當(dāng)m=1時，△CFP∽△BEM，此時△PCM為等腰三角形（PC=CM）．