Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線分別交x 軸、y軸于C、A兩點(diǎn)，將射線AM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線AN，點(diǎn)D為AM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為AN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在∠MAN的內(nèi)部。

（1）求線段AC的長；
（2）當(dāng)AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時(shí)，求△BCD的面積；
（3）求△BCD周長的最小值；
（4）當(dāng)△BCD的周長取得最小值，且BD=時(shí)，△BCD的面積為____。
（第（4）問只需填寫結(jié)論，不要求書寫過程）

Answer 1

解：（1）∵直線y=-與x軸、y軸分別交于C、A兩點(diǎn)， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2） ∴AC=4； （2）如圖1，當(dāng)AD∥BC時(shí)，依題意，可知∠DAB=45°， ∴∠ABO=45°， ∴OB=OA=2， ∵OC=， ∴BC=-2， ∴S△BCD=， 如圖2，當(dāng)AB∥DC時(shí)， 可得S△BCD=S△ACD， 設(shè)射線AN交x軸于點(diǎn)E， ∵AD∥x軸， ∴四邊形AECD為平行四邊形， ∴S△AEC=S△ACD， ∴S△BCD=S△AEC=， 綜上所述，當(dāng)AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時(shí)， S△BCD=； （3）如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于射線AM的對稱點(diǎn)C1，點(diǎn)C關(guān)于射線AN的對稱點(diǎn)C2， 由軸對稱的性質(zhì)，可知CD=C1D，CB=C2B， ∴C2B+BD+C1D=CB+BD+CD， 連結(jié)AC1、AC2， 可得∠C1AD=∠CAD，∠C2AB=∠CAB，AC1=AC2=AC=4， ∵∠DAB=45°， ∴∠C1AC2=90°， 連結(jié)C1C2， ∵兩點(diǎn)之間線段最短， ∴當(dāng)B、D兩點(diǎn)與C1、C2在同一條直線上時(shí)， △BCD的周長最小，最小值為線段C1C2的長， ∴△BCD的周長的最小值為； （4）。