Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，b）（b＞0）． P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C．記點P關于y軸的對稱點為P'（點 P'不在y軸上），連接P P'，P'A，P'C．設點P的橫坐標為a．
（1）當b=3時，求直線AB的解析式；
（2）在（1）的條件下，若點P'的坐標是（-1，m），求m的值；
（3）若點P在第一象限，是否存在a，使△P'CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）把（-1，m）代入函數(shù)解析式即可求得m的值；可以證明△PP′D∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求解；
（3）點P在不同的象限，若使△P'CA為等腰直角三角則∠AP′C=90°或∠P′AC=90°或∠P′CA=90°就三種情況分別討論求出出所有滿足要求的a的值即可．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+3，
把x=-4，y=0代入得：-4k+3=0，
∴k=

3

4

，
∴直線的解析式是：y=

3

4

x+3，
（2）由已知得點P′的坐標是（-1，m），點P（1，m），
∴m=

3

4

×1+3=

15

4

；

（3）當點P在第一象限時，
①若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如圖1）
過點P′作P′H⊥x軸于點H．
∴PP′=CH=AH=P′H=

1

2

AC．
∴2a=

1

2

（a+4），
∴a=

4

3

，
②若∠P′AC=90°，P′A=AC，
則PP′=AC，
∴2a=a+4，
∴a=4，
③若∠P′CA=90°，
則點P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形．
∴所有滿足條件的a的值為a=4或

4

3

．

點評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點的不同位置進行分類求解．