Question

（2013•襄陽(yáng)）如圖1，點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE都是等邊三角形．
（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE=CD；
（2）如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′．
①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為

60

度時(shí)，邊AD′落在AE上；
②在①的條件下，延長(zhǎng)DD’交CE于點(diǎn)P，連接BD′，CD′．當(dāng)線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“邊角邊”證明△BAE和△DAC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)；
②當(dāng)AC=2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四邊形ABDD′是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的對(duì)邊平行可得DP∥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠PCD′=∠ACD′=30°，從而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角邊角”證明△BDD′與△CPD′全等．

解答：（1）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形．
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD；

（2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=180°-60°×2=60°，
∵邊AD′落在AE上，
∴旋轉(zhuǎn)角=∠DAE=60°；
②當(dāng)AC=2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等．
理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，AB′與AD重合，
∴AB=BD=DD′=AD′，
∴四邊形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′=∠DBD′=

1

2

∠ABD=

1

2

×60°=30°，DP∥BC，
∵△ACE是等邊三角形，
∴AC=AE，∠ACE=60°，
∵AC=2AB，
∴AE=2AD′，
∴∠PCD′=∠ACD′=

1

2

∠ACE=

1

2

×60°=30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，
在△BDD′與△CPD′中，

∠DBD′=∠PCD′ BD′=CD′ ∠BD′D=∠PD′C

，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．
故答案為：60．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形的判定時(shí)提到過(guò)．