Question

如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)、F為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥AB交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)AE．
（1）求證：四邊形ADCE為平行四邊形．
（2）若EF=2

2

，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）首先證明△DAF≌△ECF，則AD=CE，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證得；
（2）作FH⊥DC于點(diǎn)H，在Rt△DFH中利用三角函數(shù)求得FH的長(zhǎng)，在Rt△CFH中利用勾股定理即可求解．

解答：（1）證明：∵CE∥AB，∴∠DAF=∠ECF．
∵F為AC的中點(diǎn)，
∴AF=CF．
在△DAF和△ECF中

∠DAF=∠ECF AF=CF ∠AFD=∠CFE

∴△DAF≌△ECF．
∴AD=CE．
∵CE∥AB，
∴四邊形ADCE為平行四邊形．
（2）作FH⊥DC于點(diǎn)H． 
∵四邊形ADCE為平行四邊形．
∴AE∥DC，DF=EF=2

2

，
∴∠FDC=∠AED=45°．
在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2

2

，∠FDC=45°，
∴sin∠FDC=

FH

DF

=

2

2

，得FH=2，
tan∠FDC=

HF

HD

=1，得DH=2．
在Rt△CFH中，∠FHC=90°，F(xiàn)H=2，∠FCD=30°，∴FC=4．
由勾股定理，得HC=2

3

．
∴DC=DH+HC=2+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是平行四邊形的判定方法，勾股定理和全等三角形的判定的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．