Question

已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M．請?zhí)骄浚?br />
（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)D在AB延長線上時(shí)，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由；
（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在線段AB上（點(diǎn)D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點(diǎn)M，若CE=2BD，請直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）DM=EM；過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，然后利用平行線的性質(zhì)和已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；
（2）成立；過點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長線于點(diǎn)F，然后利用平行線的性質(zhì)與已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；
（3）MD=

1

2

ME．過點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長線于點(diǎn)F，然后利用平行線的性質(zhì)和已知條件得到△DBM∽△EFM，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答：解（1）DM=EM．理由如下：
如圖（1），過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF∥AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中，

∠BDM=∠FEM ∠BMD=∠FME BD=EF

，
∴△DBM≌△EFM（AAS），
∴DM=EM；

（2）成立．理由如下：如圖（2），過點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長線于點(diǎn)F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF∥AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中，

∠BDE=∠FEM ∠BMD=∠FME BD=EF

，
∴△DBM≌△EFM（AAS）；
∴DM=EM；

（3）如圖（3），過點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長線于點(diǎn)F，
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：2，
∴MD=

1

2

ME．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也利用了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，對于學(xué)生的能力要求比較高，平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練．