Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：

（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？(直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x2-x+3．tan∠BAC；（Ⅱ）（1）（11，36）、（，）、（，）；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）只需把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+mx+n，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，從而得到∠ACB=90°，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠BAC的值；

（Ⅱ）（1）過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，△PAQ∽△CAB．此時(shí)可證得△PGA∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x．則有P（x，3-3x），然后把P（x，3-3x）代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，△PAQ∽△CBA，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．易得AE=EN，則點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間可表示為．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E，則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，從而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=D′E+EN最�。�此時(shí)可證到四邊形OCD′N是矩形，從而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到OD、ON、NE的值，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

試題解析：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得

，解得：．

∴拋物線的解析式為y=x2-x+3．

聯(lián)立，解得：或，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．

過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．

∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，

∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，

∴∠BCH=45°，BC=．

同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，

∴tan∠BAC=；

（Ⅱ）（1）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．

過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠ACB=90°．

若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，

①如圖2①，當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴．

∴AG=3PG=3x．

則P（x，3-3x）．

把P（x，3-3x）代入y=x2-x+3，得

x2-x+3=3-3x，

整理得：x2+x=0

解得：x1=0（舍去），x2=-1（舍去）．

②如圖2②，當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG=PG=x，則P（x，3-x），

把P（x，3-x）代入y=x2-x+3，得

x2-x+3=3-x，

整理得：x2-x=0

解得：x1=0（舍去），x2=，

∴P（，）；

若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，

①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB，

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）．

②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）．

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（，）、（，）；

（2）過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．

在Rt△ANE中，EN=AEsin45°=AE，即AE=EN，

∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為．

作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E，

則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，

∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：

當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=D′E+EN最�。�

此時(shí)，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，

∴四邊形OCD′N是矩形，

∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．

對(duì)于y=x2-x+3，

當(dāng)y=0時(shí)，有x2-x+3=0，

解得：x1=2，x2=3．

∴D（2，0），OD=2，

∴ON=DC=OC-OD=3-2=1，

∴NE=AN=AO-ON=3-1=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．