Question

已知：如圖，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB， O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BA的延長線上，以D為直角頂點(diǎn)作RT△DEF, FD的延長線與CA的延長線垂直相交于點(diǎn)M，BC的延長線與DE垂直相交于點(diǎn)N，連接OM、ON，試判斷段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程．

Answer 1

解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：

連接CO，則CO是AB邊上的中線．

∵∠ACB=90°，∴OC=AB=OB，……………（2分）

又∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠2=∠B，∵BN⊥DE，∴∠BND=90°，

又∵∠B=45°，∴∠3=45°，

∴∠3=∠B，∴DN=NB．……………（2分）

∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°．又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°

∴四邊形DMCN是矩形，∴DN=MC，

∴MC=NB，……………（2分）

∴△MOC≌△NOB（SAS），……………（2分）

∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°，

∴OM⊥ON．……………（2分）