Question

如圖,在正方形ABCD中,點P在AD上,且不與A、D重合,BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點,垂足為Q,過E作EH⊥AB于H.

(1)求證:HF=AP; 

(2)若正方形ABCD的邊長為12,AP=4,求線段EQ的長.

第25題

Answer 1

解：(1)證明:設EH與BP交于M點

∵EQ⊥BP，EH⊥AB

∴∠EQM=∠BHM=90°

         又∠EMQ=∠BMH 

            ∴△EMQ∽△BMH

∴∠QEM=∠HBM 

             在Rt△APB與Rt△HFE中，有

        

        ∴△PAB≌△FHE(ASA)

        ∴HF=AP

(2) 由勾股定理得:BP===4

∵EF是BP的垂直平分線

∴BQ=BP=2

∴QF=BQ·tan∠FBQ=BQ·=2·=

由(1)知△PAB≌△FHE

∴EF=BP=4

∴所求的EQ=EF-QF=4-=