Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=8，E是邊AB上一點(diǎn)，且AE= AB．⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，與邊CD所在直線相切于點(diǎn)G（∠GEB為銳角），與邊AB所在直線交于另一點(diǎn)F，且EG：EF= ：2．當(dāng)邊AD或BC所在的直線與⊙O相切時，AB的長是 ．

Answer 1

【答案】12或4
【解析】解：邊AB所在的直線不會與⊙O相切；邊BC所在的直線與⊙O相切時， 如圖，過點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，

∴EN=NF，
又∵EG：EF= ：2，
∴EG：EN= ：1，
又∵GN=AD=8，
∴設(shè)EN=x，則 ，根據(jù)勾股定理得：
，解得：x=4，GE=4 ，
設(shè)⊙O的半徑為r，由OE2=EN2+ON2
得：r2=16+（8﹣r）2 ，
∴r=5．∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE= AB，
∴AB=12．
同理，當(dāng)邊AD所在的直線與⊙O相切時，連接OH，

∴OH=AN=5，
∴AE=1．
又AE= AB，
∴AB=4．
所以答案是：12或4．
【考點(diǎn)精析】掌握矩形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理是解答本題的根本，需要知道矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．