Question

（2013•懷柔區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）b=

-2

，c=

-3

；
（2）點(diǎn)E是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA+OC求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)BC=AC，求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)OC與BC的長(zhǎng)求出B的坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出b與c的值；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，將A與B坐標(biāo)代入求出p與q的值，確定出直線AB解析式，再由拋物線解析式，設(shè)出E與F坐標(biāo)，兩縱坐標(biāo)相減表示出EF，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出EF的最大值，以及此時(shí)t的值，即可確定出此時(shí)E的坐標(biāo)；
（3）存在，分兩種情況考慮：（i）過(guò)點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m²-2m-3），由E的縱坐標(biāo)與P縱坐標(biāo)相等列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出P₁，P₂的坐標(biāo)；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P₃，設(shè)P₃（n，n²-2n-3），根據(jù)F的縱坐標(biāo)與P的縱坐標(biāo)相等列出關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，求出P₃的坐標(biāo)，綜上得到所有滿足題意P得坐標(biāo)．

解答：解：（1）由OA=1，得到A（-1，0）；由BC=AC=OA+OC=1+4=5，得到B（4，5），
將A與B坐標(biāo)代入拋物線y=x²+bx+c得：

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得：b=-2，c=-3；　　　　　　　　　　

（2）∵直線AB：y=px+q，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（4，5），
∴

-p+q=0 4p+q=5

，
解得：

p=1 q=1

，
∴直線AB的解析式為：y=x+1，
∵二次函數(shù)y=x²-2x-3，
∴設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t²-2t-3）
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-（t-

3

2

）²+

25

4

，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，EF的最大值=

25

4

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

，

5

2

）；

（3）存在，分兩種情況考慮：
（ⅰ）過(guò)點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m²-2m-3），
則有：m²-2m-3=

5

2

，
解得：m₁=

2- 26

2

，m₂=

2+ 26

2

，
∴P₁（

2- 26

2

，

5

2

），P₂（

2+ 26

2

，

5

2

）；

（ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P₃，設(shè)P₃（n，n²-2n-3），
則有：n²-2n-3=-

15

4

，
解得：n₁=

1

2

，n₂=

3

2

（與點(diǎn)F重合，舍去），
∴P₃（

1

2

，-

15

4

），
綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：P₁（

2- 26

2

，

5

2

），P₂（

2+ 26

2

，

5

2

），P₃（

1

2

，-

15

4

），能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．
故答案為：-2；-3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問(wèn)的關(guān)鍵．