Question

如圖（1），BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交于M、N．
（1）試說明：FG=

1

2

（AB+BC+AC）；
（2）①如圖（2），BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線；②如圖（3），BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線．
則在圖（2）、圖（3）兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并對其中的一種情況說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，進一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；
（2）延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，與（1）類似可以證出答案；
（3）與（1）方法類同即可證出答案．

解答：解：（1）證明：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
∴MB=AB，
∴AF=MF，
 同理可說明：CN=AC，AG=NG 
∴FG是△AMN的中位線，
∴FG=

1

2

MN=

1

2

（MB+BC+CN）=

1

2

（AB+BC+AC）  

（2）解：圖（2）中，F(xiàn)G=

1

2

（AB+AC-BC）    
圖（3）中，F(xiàn)G=

1

2

（AC+BC-AB）     
①如圖（2），延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，
由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=

1

2

MN=

1

2

（BM+CN-BC）=

1

2

（AB+AC-BC），
②如圖（3）延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，同樣由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=

1

2

MN=

1

2

（CN+BC-BM）=

1

2

（AC+BC-AB），解答正確一種即可     

點評：本題主要考查了三角形的中位線定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質和判定等知識點，解此題的關鍵是作輔助線轉化成三角形的中位線．