Question

已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點C落在y軸正半軸上，點D的坐標為（2，0）．
（1）填空：線段OA的長度為

1

，OB的長度為

4

，經過點A、B、C的拋物線的關系式為

y=-

1

2

x²+

3

2

x+2

；
（2）點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m＞0，n＞0），連接DP交BC于點E，當△BDE是等腰三角形時，請直接寫出此時點E的坐標．
（3）連接CD、CP，△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可證△AOC∽△COB，由相似比得OC²=OA•OB，設OA的長為x，則OB=5-x，代入可求OA，OB的長，確定A，B，C三點坐標，求拋物線解析式；
（2）根據△BDE為等腰三角形，分為DE=EB，EB=BD，DE=BD三種情況，分別求E點坐標；
（3）將求△CDP的面積問題轉化，如圖4，連接OP，根據S_△CDP=S_{四邊形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD，表示△CDP的面積；再利用二次函數的性質求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標．

解答：（1）解：設OA的長為x，則OB=5-x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB
∴2²=x（5-x），
解得：x₁=1，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；
∴點A、B、C的坐標分別是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；
方法一：設經過點A、B、C的拋物線的關系式為：y=ax²+bx+2，
將A、B、C三點的坐標代入得：

a-b+2=0 16a+4b+2=0 c=2

解得：

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
所以這個二次函數的表達式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
方法二：設過點A、B、C的拋物線的關系式為：y=a（x+1）（x-4），
將C點的坐標代入得：a=-

1

2

，
所以這個二次函數的表達式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
故答案為：1，4，y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）解：如圖1，當DE=EB時，過點E作EF⊥BD于點F，
∵BO=4，OD=2，∴BD=2，
∵DE=BE，EF⊥BD，
∴DF=FB=

1

2

BD=1，
∴OF=OD+DF=3，
∵EF⊥BO，CO⊥BO，
∴EF∥CO，
∴△COB∽△EFB，
∴

CO

EF

=

BO

FB

，
∴

2

EF

=

4

1

，
∴EF=

1

2

，
故E點坐標為：（3，

1

2

），
如圖2，當EB=BD時，過點E作EM⊥BO于點M，
∵CO=2，BO=4，
∴BC=2

5

，
∵點D的坐標為（2，0），
∴BD=BE=4-2=2，
∵EM∥CO，
∴△COB∽△EMB，
∴

CO

EM

=

BC

EB

，
∴

2

EM

=

2 5

2

，
∴EM=

2 5

5

，
∵

CO

BO

=

EM

MB

=

1

2

，
∴BM=

4 5

5

，
∴MO=4-

4 5

5

，
∴故E點坐標為：（4-

4 5

5

，

2 5

5

），
如圖3，當DE=BD時，過點E作EN⊥BO于點N，
設E點橫坐標為x，則ND=2-x，故BN=4-x，
∵

CO

BO

=

1

2

，
∴EN=

1

2

（4-x），
∴在Rt△END中，
EN²+ND²=ED²，
即[

1

2

（4-x）]²+（2-x）²=2²，
解得：x=

4

5

，
∴EN=

1

2

（4-x）=

8

5

，
故點E的坐標是：（

4

5

，

8

5

），
故當△BDE是等腰三角形時，點E的坐標分別是：（3，

1

2

），（

4

5

，

8

5

），（4-

4 5

5

，

2 5

5

）．

（3）解：如圖4，連接OP，
∵P點坐標為：（m，n），
∴P到CO距離為m，P到x軸距離為n，
S_△CDP=S_{四邊形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD，
=

1

2

×2m+

1

2

×2n-

1

2

×2×2=m+n-2
=-

1

2

m²+

5

2

m，
=-

1

2

（m-

5

2

）²+

25

8

，
∴當m=

5

2

時，n=

21

8

，此時△CDP的面積最大．此時P點的坐標為（

5

2

，

21

8

），
S_△CDP的最大值是

25

8

．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據直角三角形中斜邊上的高分得的兩個三角形相似，以及根據等腰三角形的性質求E點坐標，利用作輔助線的方法表示△CDP的面積，由二次函數的性質求三角形面積的最大值．